Ett primtal är ett heltal större än 1 som bara går att dela jämnt med 1 och med sig självt. 2, 3, 5, 7 och 11 är primtal. 8 är det inte, eftersom 8 också går att dela med 2 och 4. Själva definitionen är lätt att lära sig utantill. Det svåra kommer senare, när primtalen ska användas för att förkorta bråk, hitta gemensam nämnare och faktorisera i algebra. Där syns en liten lucka från mellanstadiet ofta först på högstadiet. Här får du definitionen, en färdig lista, en metod som fungerar på alla tal och exempel på var eleverna brukar fastna. Du får också veta hur en personlig studiehjälpare hos oss på Nextrum kan hjälpa till innan luckan blir större.
Kort sagt
- Ett primtal är ett heltal större än 1 med exakt två delare: 1 och talet självt. Talet 1 är alltså inte ett primtal.
- Det finns 25 primtal under 100, och 2 är det enda jämna.
- För att testa ett tal räcker det att dela med primtalen upp till roten ur talet. För 97 betyder det 2, 3, 5 och 7.
- Alla heltal större än 1 kan delas upp i primtal på exakt ett sätt. Det kallas primtalsfaktorisering och behövs i bråk och algebra.
- Den som förstår varför metoden fungerar, och inte bara memorerar listan, får en stabil grund för resten av matten.
Innehållsförteckning
- Primtal förklarat på en minut
- Varför är 1 inte ett primtal?
- Alla primtal upp till 100
- Så kollar du om ett tal är ett primtal
- Eratosthenes såll: hitta alla primtal på en gång
- Primtalsfaktorisering: när primtalen kommer till nytta
- Var primtal dyker upp i skolan
- Vad är algebra, och hur hänger det ihop med primtal?
- Vanliga misstag, och hur du undviker dem
- Så kan du som förälder hjälpa till hemma
- När en förklaring inte räcker: personlig mattehjälp i Stockholm
- Vanliga frågor
- Källor
Primtal förklarat på en minut
Tänk dig att du har ett antal kulor och vill lägga dem i lika stora rader. Med 12 kulor går det på flera sätt: 2 rader med 6, 3 rader med 4 eller 4 rader med 3. Med 7 kulor går det bara att lägga en enda rad med 7, eller 7 rader med en kula i varje. Då är 7 ett primtal.
Den matematiska definitionen säger samma sak. I KTH:s kompendium i talteori står det att ett heltal p större än 1 är ett primtal om de enda positiva heltal som delar p är 1 och p. Tal större än 1 som inte är primtal kallas sammansatta tal, eftersom de är sammansatta av mindre faktorer. Ett exempel är 21, som är 3 × 7. Lotssons ordbok vid KTH använder just det exemplet och påpekar att varken 0 eller 1 räknas som primtal.
Ordet har en lång historia. Enligt NCM vid Göteborgs universitet kommer det från latinets primus, "den första", och går tillbaka till Aristoteles. Primtalen är de första byggstenarna som alla andra tal är uppbyggda av.
Primtal eller sammansatt tal?
| Tal | Delare | Primtal? |
|---|---|---|
| 1 | 1 | Nej, bara en delare |
| 2 | 1, 2 | Ja |
| 7 | 1, 7 | Ja |
| 8 | 1, 2, 4, 8 | Nej, sammansatt |
| 9 | 1, 3, 9 | Nej, sammansatt |
| 13 | 1, 13 | Ja |
| 15 | 1, 3, 5, 15 | Nej, sammansatt |
Varför är 1 inte ett primtal?
Det här är den vanligaste frågan om primtal, och svaret har två delar.
Den första delen är enkel: ett primtal har exakt två olika delare. Talet 1 har bara en, nämligen 1. Därför räknas det varken som primtal eller som sammansatt tal.
Den andra delen förklarar varför matematiker har bestämt det så. Om 1 vore ett primtal skulle varje tal kunna delas upp i primtal på oändligt många sätt: 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3 och så vidare. Talföljdsdatabasen OEIS anger just detta som skälet: med 1 bland primtalen vore uppdelningen i primtal inte längre entydig. Den regeln om entydig uppdelning är så viktig att den har ett eget namn, och den kommer längre ner i texten.
Alla primtal upp till 100
Det här är listan som de flesta elever behöver. Det finns 25 primtal under 100:
| Intervall | Primtal | Antal |
|---|---|---|
| 1–10 | 2, 3, 5, 7 | 4 |
| 11–20 | 11, 13, 17, 19 | 4 |
| 21–30 | 23, 29 | 2 |
| 31–40 | 31, 37 | 2 |
| 41–50 | 41, 43, 47 | 3 |
| 51–60 | 53, 59 | 2 |
| 61–70 | 61, 67 | 2 |
| 71–80 | 71, 73, 79 | 3 |
| 81–90 | 83, 89 | 2 |
| 91–100 | 97 | 1 |
Behöver du fler, så finns en lista över de 1 000 första primtalen, från 2 upp till 7 919. Någon komplett lista finns däremot inte. Det finns nämligen oändligt många primtal, vilket redan Euklides bevisade för mer än 2 000 år sedan.
Mönster som gör listan lättare att minnas
Att plugga in 25 tal är tråkigt. Det går lättare om du ser mönstren:
- 2 är det enda jämna primtalet. Alla andra jämna tal går att dela med 2.
- 5 är det enda primtalet som slutar på 5. Alla andra tal som slutar på 0 eller 5 går att dela med 5.
- Alla andra primtal slutar på 1, 3, 7 eller 9. Men det omvända gäller inte: 21, 27, 33, 39, 49, 51, 57, 63, 69, 77, 81, 87, 91 och 93 slutar också på de siffrorna utan att vara primtal.
- Primtalen glesnar. Mellan 1 och 10 finns fyra primtal, mellan 91 och 100 bara ett.
Det tredje mönstret är en klassisk fälla på prov. En elev som har lärt sig "udda och inte i femmans tabell" svarar gärna att 91 är ett primtal. Det är det inte, och nästa avsnitt visar hur du kan vara säker.
Så kollar du om ett tal är ett primtal
Listan räcker bara upp till 100. För större tal behövs en metod. Den här fungerar på alla tal och tar bara några minuter med miniräknare:
- Räkna ut roten ur talet. Avrunda nedåt. För 97 är √97 ungefär 9,8, så gränsen blir 9.
- Skriv upp primtalen upp till gränsen. För 97 är det 2, 3, 5 och 7.
- Dela talet med vart och ett av dem. Går någon division jämnt ut är talet sammansatt, och du är klar.
- Går ingen division jämnt ut är talet ett primtal. 97 delat med 2, 3, 5 och 7 ger aldrig ett heltal, så 97 är ett primtal.
Metoden beskrivs också i Wikipedias artikel om primtal: det räcker att dela talet n med alla primtal till och med det största primtalet som är mindre än eller lika med √n.
Varför räcker det att gå till roten ur talet?
Här brukar eleverna fastna, och det var just den frågan många ställer i matteforum när läroboken bara visar regeln. Förklaringen är att delare kommer i par. Om 91 = a × b kan inte både a och b vara större än √91, för då skulle produkten bli större än 91. Minst en av faktorerna är alltså högst √91. Hittar du ingen delare upp till roten finns det ingen alls.
När eleven förstår varför regeln fungerar slutar den vara något att memorera. Det är den sortens förståelse som gör skillnad på prov där uppgifterna är formulerade lite annorlunda än i boken.
Tre exempel att öva på
- 71: √71 är ungefär 8,4. Testa 2, 3, 5 och 7. 71 är udda, siffersumman 8 är inte delbar med 3, talet slutar inte på 0 eller 5, och 71 ÷ 7 ≈ 10,14. Alltså är 71 ett primtal.
- 91: √91 är ungefär 9,5. Testa 2, 3, 5 och 7. 91 ÷ 7 = 13. Alltså är 91 = 7 × 13, ett sammansatt tal.
- 119: √119 är ungefär 10,9. Testa 2, 3, 5 och 7. 119 ÷ 7 = 17. Alltså är 119 = 7 × 17, inte ett primtal.
Lägg märke till att sjuan avslöjar både 91 och 119. Den är lätt att glömma, eftersom delbarhet med 7 inte har någon enkel siffersummeregel som 3 och 9 har.
Eratosthenes såll: hitta alla primtal på en gång
Vill du ta fram alla primtal upp till ett visst tal finns en 2 000 år gammal metod som fortfarande används i skolan. Den kallas Eratosthenes såll efter den grekiske matematikern Eratosthenes.
- Skriv talen från 2 till 100 i ett rutnät.
- Ringa in 2 och stryk alla andra jämna tal.
- Ringa in 3 och stryk alla multipler av 3 som inte redan är strukna.
- Ringa in 5 och stryk dess multipler. Gör sedan samma sak med 7.
- Eftersom √100 = 10 är du klar efter 7. Alla tal som inte är strukna är primtal.
Sållet är ett bra sätt för yngre elever att se primtalen växa fram själva i stället för att läsa dem i en lista. Det visar också varför det räcker att stryka multipler av primtal: multiplerna av 4, 6, 8 och 9 är redan borta.
Primtalsfaktorisering: när primtalen kommer till nytta
Att primtalsfaktorisera ett tal betyder att skriva det som en multiplikation där alla faktorer är primtal. En primtalsfaktor är alltså ett primtal som ingår i den uppdelningen.
Ta 60 som exempel. Det kan skrivas som 6 × 10, 3 × 20 eller 3 × 4 × 5. Men KTH:s kompendium visar att det bara finns en uppdelning där alla faktorer är primtal: 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Det gäller alla heltal större än 1, och regeln kallas aritmetikens fundamentalsats: varje sådant tal kan skrivas som en produkt av primtal på exakt ett sätt, bortsett från ordningen.
Så gör du steg för steg
Börja med det minsta primtalet och dela så länge det går:
- 180 ÷ 2 = 90
- 90 ÷ 2 = 45
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 är ett primtal, så du är klar.
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5, eller kortare 2² × 3² × 5. Delar du talet i en annan ordning, till exempel 180 = 10 × 18, får du ändå samma primtalsfaktorer till slut.
En vanlig fallgrop är att stanna för tidigt och skriva 180 = 4 × 45. Det är en korrekt faktorisering, men inte en primtalsfaktorisering, eftersom varken 4 eller 45 är primtal.
Var primtal dyker upp i skolan
Primtal är inget avsnitt som läses en gång och sedan glöms bort. De kommer tillbaka år efter år, och varje gång i en ny form.
Förkorta bråk. Hur förkortar du 42/60? Primtalsfaktorisera båda: 42 = 2 × 3 × 7 och 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Stryk de gemensamma faktorerna 2 och 3, och kvar blir 7/10. Utan primtalen blir det gissningar och flera förkortningssteg.
Minsta gemensamma nämnare. För att addera 1/6 och 1/8 behövs en gemensam nämnare. 6 = 2 × 3 och 8 = 2 × 2 × 2. Ta med varje faktor så många gånger den förekommer som mest: 2 × 2 × 2 × 3 = 24. Exemplet finns också i läroboken Matematik 5000 Plus.
Gymnasiet. I gymnasiets Matematik 1 läses primtal och delbarhet i samma del av kursen som algebra och ekvationer. Den som har en lucka i primtal och faktorisering från grundskolan märker det alltså igen i första kursen på gymnasiet.
Om ert barn går på högstadiet och har svårt för just bråk, är det ofta här grunden behöver lagas. Vår sida om läxhjälp för högstadiet beskriver hur vi lägger upp stödet i årskurs 7 till 9.
Vad är algebra, och hur hänger det ihop med primtal?
Algebra är, förenklat, räkning med bokstäver. Ordet kommer från arabiskans al-jabr. I stället för att bara räkna med siffror använder du bokstäver, till exempel x, för tal du inte känner till eller för tal som kan variera. I Skolverkets kursplan i matematik ingår algebra med variabler i uttryck, formler och ekvationer, och metoder för att lösa ekvationer.
Kopplingen till primtal är faktorisering. Samma tänkande som gör 60 till 2 × 2 × 3 × 5 används när du ska bryta ut en gemensam faktor ur ett algebraiskt uttryck:
- 6x + 9: 6 = 2 × 3 och 9 = 3 × 3. Den gemensamma faktorn är 3, så 6x + 9 = 3(2x + 3).
- 12a + 18b: 12 = 2 × 2 × 3 och 18 = 2 × 3 × 3. Den gemensamma faktorn är 2 × 3 = 6, så 12a + 18b = 6(2a + 3b).
En elev som snabbt ser primtalsfaktorerna i talen ser också vad som går att bryta ut. En elev som är osäker på primtalen får det dubbelt så svårt, eftersom bokstäverna kommer ovanpå en grund som redan vacklar.
Vanliga misstag, och hur du undviker dem
De här felen dyker upp gång på gång i läxor och på prov:
- Att räkna 1 som primtal. Kom ihåg: exakt två delare.
- Att tro att alla udda tal är primtal. 9, 15, 21, 25, 27 och 91 är udda men sammansatta.
- Att glömma 2. 2 är både det minsta och det enda jämna primtalet.
- Att glömma att testa med 7. Det är därför 91, 119 och 1 001 = 7 × 11 × 13 ser ut som primtal men inte är det.
- Att stanna för tidigt i en faktorisering. Kolla att varje faktor i svaret verkligen är ett primtal.
- Att testa för långt. Det räcker att gå till roten ur talet, och det sparar tid på prov.
Så kan du som förälder hjälpa till hemma
Du behöver inte vara mattelärare för att stötta. Några enkla saker gör skillnad:
- Be ditt barn förklara för dig. "Varför är inte 9 ett primtal?" är en bättre fråga än "Kan du listan?". Den som kan förklara har förstått.
- Gör sållet tillsammans. Ett rutnät med talen 1 till 100 och en penna tar tio minuter och fastnar bättre än en lista.
- Gör det till en vardagslek. Är husnumret, priset eller sidnumret ett primtal? Korta frågor i bilen eller vid middagen tränar huvudräkning utan att det känns som läxor.
- Planera repetitionen. Primtal och faktorisering är ett bra avsnitt att repetera före prov i bråk och algebra. Läs gärna våra tips om att plugga inför prov.
Märker du att samma fråga kommer tillbaka vecka efter vecka, eller att läxorna blir en källa till bråk, är det ofta en signal om att något tidigare steg inte sitter.
När en förklaring inte räcker: personlig mattehjälp i Stockholm
Primtal är ett typiskt exempel på något som ser enkelt ut i boken men som blir en lucka när det ska användas i bråk och algebra. Det som hjälper är att någon sätter sig bredvid eleven, hittar exakt var det tar stopp och förklarar på ett sätt som eleven förstår. Hos Nextrum matchas varje elev individuellt med en personlig studiehjälpare. Våra studiehjälpare är unga och har nyligen läst samma kurser som eleven, så de minns själva var det brukar ta emot.
Varje elev får en studieplan som anpassas efter just honom eller henne, och ni föräldrar får en rapport efter varje pass. Mellan passen finns vår digitala plattform med övningsuppgifter och en översikt över hur det går. Vill eleven prova några uppgifter först kan ni testa NexLäx utan konto. Läxhjälpen sker hemma, på bibliotek eller online, och täcker matematik, svenska, engelska, NO, SO och moderna språk.
Vi har tre månadspaket: Basic för 1 516 kr/månad, Standard för 3 032 kr/månad och Intensiv för 4 548 kr/månad. Ett extra barn kostar 69 kr/timme. Matchning, studieplan och digitala uppgifter ingår. Vi har också en betygsgaranti: om eleven inte når ett högre betyg trots att villkoren är uppfyllda får ni extra läxhjälp. Läs mer om vår läxhjälp i matte eller se alla paket och priser.
Vanliga frågor
Vilket är det minsta primtalet?
Det minsta primtalet är 2. Det är också det enda jämna primtalet, eftersom alla andra jämna tal går att dela med 2. Talet 1 räknas inte, eftersom det bara har en delare.
Är 71 ett primtal?
Ja. Roten ur 71 är ungefär 8,4, så det räcker att testa 2, 3, 5 och 7. Ingen av dem går jämnt upp i 71, och därför är 71 ett primtal. Det finns också med i listan över de 25 primtalen under 100.
Hur många primtal finns det?
Det finns oändligt många primtal, så ingen lista blir någonsin komplett. Under 100 finns det 25 stycken. Ju större talen blir, desto glesare ligger primtalen.
Vilket är det största kända primtalet?
I oktober 2024 hittade projektet GIMPS primtalet 2^136 279 841 − 1, ett tal med 41 024 320 siffror. Rekordet slås när någon hittar ett större, så det kan ha ändrats när du läser detta. Eftersom primtalen aldrig tar slut finns det inget största primtal, bara ett största kända.
Vad är skillnaden mellan en faktor och en primtalsfaktor?
En faktor är vilket tal som helst som går jämnt upp i ett annat tal. 4, 6 och 10 är alla faktorer i 60. En primtalsfaktor är en faktor som dessutom är ett primtal: för 60 är det 2, 3 och 5.
Källor
KTH: Talteori, kompendium Lotssons ordbok, KTH: primtal NCM, Göteborgs universitet: Primtal OEIS: primtalsföljden A000040 Wikipedia: Lista över primtal Wikipedia: Primtal NOK: Matematik 5000 Plus, kapitel 1 Skolverket: Kursplan i matematik, grundskolan GIMPS: Mersenne Prime Discovery 2^136279841−1